方差

我们先定义出方差的概念，背景：国家队在选拔射击运动员去参加奥运会，选拔时候要看运动员的能力，这个能力体现在运动员的得分率稳，不是忽高忽低，怎么判定呢，就引入了方差，$EX$ 的含义为运动员的平均水平，$X$ 则为运动员每次的射击得分，拿每次 $X - EX$ 得到的就是差值，为什么叫方差呢，因为有两种情况 $9.8 - 10.0 = -0.2$ 和 $9.8-9.6=0.2$ 结果我们要求一个累加期望，这样的可能就相互抵消了，所以我们要加个平方，使其都成为正数，当然了绝对值也可以，但是计算可能麻烦。

方差公式：

\[D X=E\left[(X-E X)^{2}\right]\]

推导：

\[D X=E\left(X^{2}\right)-(E X)^{2}\]

方差的性质

\[D X \geqslant 0, E\left(X^{2}\right)=D X+(E X)^{2} \geqslant(E X)^{2} \text {. }\] \[D(a X+b)=a^{2} D X\] \[D(X \pm Y)=D X+D Y \pm 2 \operatorname{Cov}(X, Y)\] \[D\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} D X_{i}+2 \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} a_{i} a_{j} \operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)\]

常用分布的EX,DX

我们应记住如下常用分布的 $EX,DX.$

\[(1) 0-1 分布 , E X=p, D X=p-p^{2}=(1-p) p.\] \[(2) X \sim B(n, p), E X=n p, D X=n p(1-p) .\] \[(3) X \sim P(\lambda), E X=\lambda, D X=\lambda .\] \[(4) X \sim G(p), E X=\frac{1}{p}, D X=\frac{1-p}{p^{2}} .\] \[(5) X \sim U(a, b), E X=\frac{a+b}{2}, D X=\frac{(b-a)^{2}}{12}.\] \[(6) X \sim E(\lambda), E X=\frac{1}{\lambda}, D X=\frac{1}{\lambda^{2}}.\] \[(7) X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), E X=\mu, D X=\sigma^{2} .\] \[(8) X \sim \chi^{2}(n), E X=n, D X=2 n.\]